\documentclass{jarticle} 
\title{2009年解析学レポート	第一回} 
\author{幸城　裕樹} 
\date{\today} 
\西暦 
\begin{document} 


\maketitle

\section{べき集合}
べき集合の要素は$ \emptyset $から集合Aの要素の組み合わせ${}_n C _i$（集合Aそれ自体も含む）だから
$\emptyset$を含めてその数は$\sum^n_{k=0}{}_n C _k= 2^{n}$に等しい


\section{命題理論と真理関数1}
\subsection{}
ある命題Nの真理値が，他の特定の命題Ａ，Ｂ，Ｃ‥‥から導かれるとき，命題Nは命題Ａ，Ｂ，Ｃ‥‥の真理関数という。\\
例1.\\
命題A:XとYは兄弟である\\
命題B:YとZは親子である\\
命題C:XとZは親子である\\
例2.\\
命題A:Xは体育会に入っている男子である\\
命題B:Xは体育会に入っている\\
命題C:Xは女子である\\
例3.\\
命題A:\\
命題B:\\

\subsection{}
真理表
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
\hline
P & Q & $P \rightarrow Q $&R & $R \wedge P $& $ (P \rightarrow Q) \wedge (R \rightarrow P)$\\ \hline \hline
t&t&t&t&t&t \\
t&t&t&f&f&f \\
t&f&f&t&t&f \\
t&f&f&f&f&f \\
f&t&t&t&f&f \\
f&t&t&f&f&f \\
f&f&t&t&f&f \\
f&f&t&f&f&f \\
\hline
\end{tabular}  
\subsection{}
$ ¬\{¬\{¬\{ ¬(P \rightarrow  Q) \}\}\} $
$ ¬\{ ¬(P \rightarrow  Q) \} $
$¬P \rightarrow ¬Q$ 
\subsection{}

\section{命題理論と真理関数2}
\subsection{}
例：いい子であれば、コレを買ってあげる\\
一般：いい子でないと買ってもらえない\\
数学：いい子でなくても買ってもらえることもある\\

\subsection{}
真理表
\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
\hline
P&Q&$P \wedge Q$&R&$(P \wedge Q) \rightarrow R$ \\ \hline \hline
t&t&t&t&t \\
t&t&t&f&f \\
t&f&f&t&t \\
t&f&f&f&t \\
f&t&f&t&t \\
f&t&f&f&t \\
f&f&f&t&t \\
f&f&f&f&t \\
\hline
\end{tabular}

\subsection{}
ド・モルガンの法則より
$¬(P \wedge Q) \Leftrightarrow ¬P \vee ¬Q$
また
$P \wedge P \Leftrightarrow P$であるので
すべての真理関数は、$\vee$と$not$だけで表現できる。\\

\subsection{}
(3)と同様に
ド・モルガンの法則より
$¬(P \vee Q) \Leftrightarrow ¬P \wedge ¬Q$
また$P \vee P \Leftrightarrow P$あるので\\
すべての真理関数は、$\wedge$と$not$だけで表現できる。\\

\subsection{}
シェファーの棒（Sheffer stroke）
五つの論理的結合子"¬、∨、∧、→、⇔"と（　）を使う代わりに、一つの記号"｜"と（　）だけで同じ表現ができる。Ａ｜Ｂは¬（Ａ∧Ｂ）を意味する。これひとつを用いるだけですべての真理関数を表現することが可能である。

\section{命題の逆、裏、待遇}
\subsection{}
逆:$x^2-x-6=0$ならばx=3\\
裏:$x\ne3$ならば$x^2-x-6\ne0$\\
対偶:$x^2-x-6\ne0$ならば$x\ne3$\\
\subsection{}

逆:$x^2<1$\\
裏:\\
対偶:\\
\subsection{}
逆:\\
裏:\\
対偶:\\

\section{排中律}
命題Aと「Aでない(A)」の中間がないこと。排中律とは、“Ａ∨¬Ａ”として表わされる。

\section{量化理論1}
\subsection{}
あるゼミ員は優秀でない

\subsection{}
あるゼミ員は優秀でないか変人でない

\subsection{}
すべての経済学部の先生はイケメンでも美女でもない
\subsection{}


\section{量化理論2}
\subsection{}
すべての$x$について$x+3=0$である。真理値はf

\subsection{}
ある$x$について$x+3=0$である。真理値はt

\subsection{}
$\forall x \in N (2x+3 \not =0) $ 真理値はt

\subsection{}
$\exists x \in R (x^{2}+3 = 0 )$ 真理値はf
\section{推論規則}
三段論法とは、「「もしＡ⇒Ｂが真であり、かつ、Ｂ⇒Ｃも真である」ならば、Ａ⇒Ｃも真である」ということ。\\
三段論法以外の推論規則には、
\section{推理と証明}
\subsection{}
\subsection{}
\subsection{}
\section{集合の復習}
\subsection{}

実数$x$について、$x$は開区間$a<x<b$上の点をとる集合

\subsection{}

実数$x$について、$x$は閉区間$a \ leq x \leq b$上の点をとる集合

\subsection{}
実数$x$について、$x$は$b$以下の点をとる集合

\subsection{}

[a,b]×[c,d]=[ac,bd]
\section{写像の定義域と地域,像と逆像}
\subsection{}

定義域：$x \in R : x \not = 0$


値域:$y \in R : y \not = 0$

\subsection{}

定義域:$x \in R : x >0$

値域:$y \in R $

\subsection{}

$f(X)$について

$X={ x \in | 0 \leq x \leq 4 },Y={ y \in R | -1 \leq y \leq 2}$

$f^{-1}(Y)$について

$Y={ y \in R | y={-1}},X={x \in R | -1 < x \leq 1}$

\section{像と逆像の性質}
\subsection{}
$S \subset T \Rightarrow f(S) \subset f(T) $について

定義より

$f : S \rightarrow f(S)
f : T \rightarrow f(T)$

で、

$S \subset T $なので　$f(S) \subset f(T)$　となる。


\subsection{}

$U \subset V \Rightarrow f(U)^{-1} \subset f(V)^{-1} $について

定義より

$f : U \rightarrow f(U)^{-1}
f : V \rightarrow f(V)^{-1}$

で、

$U \subset V $なので　$f(U)^{-1} \subset f(V)^{-1}$　となる。

\subsection{}

$f(S \cup T) = f(S) \cup f(T)$  について

$ f(S \cup T) \subset f(S) \cup f(T)$

$f(S) \cup f(T) \subset f(S \cup T)$を示す

$S \subset S \cup T f(S) \subset f(S \cup T)$

$T \subset S \cup T f(T) \subset f(S \cup T)$

よって

$f(S \cup T) \subset f(S) \cup f(T)…�@$

$y \in f(S \cup T)$

$\Rightarrow \exists x \in S \subset T$ かつ $f(x)=y $である

$\Rightarrow \exists x \in S $または $\exists x \in T$ かつ $f(x)=y $である

$\Rightarrow y \in f(S)$ または $y \in f(T)$

$\Rightarrow y \in f(S) \cup f(T)…�A$

�@、�Aより$f(S \cup T) = f(S) \cup f(T)$

\subsection{}

$S \supset S \cap T $なので $f(S) \supset f(S \cap T)$

$T \supset S \cap T $なので $f(T) \supset f(S \cap T)$

よって示された。


\subsection{}

$x \in f^{-1}(U \cup V)$

$\Leftrightarrow f(x) \in U \cup V$

$\Leftrightarrow f(x) \in U $または $f(x) \in V$

$\Leftrightarrow x \in f{-1}(U)$ または $x \in f{-1}(V)$

$\Leftrightarrow x \in f{-1}(U) f{-1}(V)$

よって示された。


\subsection{}

$x \in f{-1}(U \cap V)$

$\Leftrightarrow f(x) \in U \cap V$

$\Leftrightarrow f(x) \in U $かつ $f(x) \in V$

$\Leftrightarrow x \in f{-1}(U)$ かつ $x \in f{-1}(V)$

$\Leftrightarrow x \in f{-1}(U) \cap f{-1}(V)$

よって示された。

\subsection{}

$x \in f(f{-1}(U))$

$\Rightarrow \exists y \in f{-1}(U)$ があって $f(y)=x$

$\Rightarrow x=f(y) \subset U$

よって示された。

\subsection{}

$f が全単射とする
f(S \cap T) \subset f(S), f(T) より、f(S \cap T) \subset f(S) \cap
f(T) 
また、y \in f(S) \cap f(T) とするとy \in f(S), y \in f(T) 
y = f(x) となるx が一つしかないから、
x \in S, x \in T である。よって、x \in A \cap B ゆえにy = f(x) \in f(A \cap B) が示
せた。次にx1 6= x2 とする。またS = {x1},T = {x2} とすると、
f(S \cap T) = \phi = f(S) \cap f(T) だから、f(x1) 6= f(x2) でありf は全単射
以上より題意は示された
$

\subsection{}

$
U \subset f^{-1}(f(U)) だから
U \supset f^{-1}1(f(U)) \Leftrightarrow f が全単射
f が全単射とする。x \in f^{-1}(f(U)) とすると、このとき
f(x) \in f(U) である。したがって、f(x) = f(x0) となるx0 \in U が存在する。
ここでf は全単射であるから、x = x0 \in U となり、U \supset f^{-1}1(f(U)) がいえ
る。
逆にx1 6= x2 とする。もしf(x1) = f(x2) ならば、{x1} \supset f^{-1}(f(x2)) \supset {x2}
より、x1 = x2 となり矛盾。よってf(x1) 6= f(x2) となり、f は全単射。
$

\section{単射,全射,全単射}


\section{合成関数}
\subsection{}
$(f(g(x)) = (2x^2-3x)^3$


$= 8x^6-36x^5+54x^4-27x^3 $

\subsection{}

$(f(x),g(x))=(x+n,x-n),(x,x^n)$


\section{写像と集合}
\subsection{}
$A \cap B ={x \in R: -1<x<1}$

より

$f(A \cap B)={y \in R : 0 \leq y <1}$

\subsection{}
$f(A)={y \in R : 0 \leq y <4}$,$f(B)={y \in R : 0 \leq y \leq 1}$より

$f(A) \cap f(B) ={y \in R : 0 \leq y \leq 1}$

\subsection{}

$f(A)=\{y\in {\bf R} :0\leq y<4\}$

$f(f(A)$の定義域は$0\leq x^2<2\Leftrightarrow -2<x<2$

逆関数$f^{-1}(f(A)$の値域は$f(f(A)$の定義域に一致する。

よって$f^{-1}(f(A))=\{y\in {\bf R} :-2<y<2\}$

\subsection{}
$f^{-1}(x)=\pm \sqrt{x}$

$C=\{x\in {\bf R} : 0\leq x<2\}$より

$f^{-1}(C)=\{x\in {\bf R} :-\sqrt{2} <x<\sqrt{2}\}$

$f(f^{-1}(C))=\{y\in {\bf R} :0\leq y< 2\}$

\section{論理と証明}
\subsection{}
奇数$2n-1$とする

$(2n-1)^{n}$

$={}_n C _0 2n^{n}+{}_n C _1 2n^{n-1}+ \dots +{}_n C _n (-1)^{n}$より奇数

\subsection{}

$m\sqrt[]{\mathstrut 2}+n\sqrt[]{\mathstrut 3}$

$=\sqrt[]{\mathstrut 2m^{2}}+\sqrt[]{\mathstrut 3n^{2}}$

ここで$=\sqrt[]{\mathstrut 2m^{2}}+\sqrt[]{\mathstrut 3n^{2}}$が無理数でないとすると

$\sqrt[]{\mathstrut 2m^{2}}=\frac{b}{a}$

$\sqrt[]{\mathstrut 3n^{2}}=\frac{d}{c}$

とおくと(a、b、c、dは整数で互いに素)

$m^{2}=\frac{b^{2}}{2a^{2}}$

$n^{2}=\frac{d^{2}}{2c^{2}}$

m、nは自然数なので矛盾,よって

$=\sqrt[]{\mathstrut 2m^{2}}+\sqrt[]{\mathstrut 3n^{2}}$は無理数

\section{数学的帰納法1}
\subsection{}

$n=1$のとき、$2!=2 \geq 2$ なので成立。

$n=k$のとき、$(k+1)!=\geq 2^{k}$が成り立つとする。

$(k+2)!=(k+2)(k+1)! \geq (k+2)2^{k}$である。

ここで、$(k+2)2^{k}-2^{k+1}=2^{k}\{(k+2)-2\}=2^{k}k>0$なので、

$(k+2)2^{k}>2^{k+1}$ゆえに、$(k+2)! \geq 2^{k+1}$

従って、$n=k+1$でも成り立つ。

よって、すべての自然数ｎについてこの命題は成り立つ。


\subsection{}
$n=1$のとき、1=1となり成立。

$n=k$のとき、$1+3+5+\cdots+(2k-1)=k^{2}$が成り立つと仮定する。

$1+3+5+ \cdots+(2k-1)+(2k+1)=k^{2}+(2k+1)=(k+1)^{2}$

ゆえに、$n=k+1$でも成り立つ。

よってすべての自然数ｎで成り立つ。

\subsection{}

$n=1$のとき、$1+5$は6の倍数である。

$n=k$のとき、$k^{3}+5k$は6の倍数と仮定する。

$(k+1)^{3}+5(k+1)=k^{3}+3k^{2}+3k+1+5k+5=(k^{3}+5k)+3k(k+1)+6$となるが、

$k(k+1)$は偶数なので$(k+1)^{3}+5(k+1)$は6の倍数であるといえる。

ゆえに、$n=k+1$でも成り立つ。

よって、すべての自然数ｎについて、この命題は成り立つ。

\subsection{}
$n=1$のとき、$1=1$となり、成立。

$n=k$のとき、$1^{2}+3^{2}+ \dots +(2k-1)^{2}=\frac{1}{3}(4k^{3}-k)$が成立するとする。

$n=k+1$のとき

$1^{2}+ \dots +(2k-1)^{2}+(2k+1)^{2}=\frac{1}{3}(4k^{3}-k)+(2k+1)^{2}$

$=\frac{1}{3}(4k^{3}+12k^{2}+11k+1)$


また$n=k+1$を代入すると


$\frac{1}{3}(4(k+1)^{3}-(k-1))$

$=\frac{1}{3}(4k^{3}+12k^{3}+11k+3$


ゆえに、$n=k+1$でも成り立つ。


よって、すべての自然数nについて、この命題は成り立つ。


\section{数学的帰納法2}
\subsection{}
n=2のとき$2^2>2+1$より成立。\\
n=k(kは自然数)のとき$k^2>k+1$が成立すると仮定する。\\
n=k+1のとき、$(k+1)^2=k^2+2k+1>(k+1)+2k+1=3k+2>k+2$より成立する\\
よって、2以上のすべての自然数nについてこの命題は成り立つ。
\subsection{}
\subsection{}
\subsection{}

\section{とても有名な結果}
\subsection{}
$(a+b)^n=\sum^{n}_{i=0}{}_nC_ia^ib^{n-i}$


ここで、a=1,b=1を代入すると


左辺$=2^n$


右辺＝$\sum^{n}_{i=0}{}_nC_i1^i1^{n-i}=\sum^{n}_{i=0}{}_nC_i$


以上より示された

\subsection{}
a=2,b=1を代入すると

左辺＝$3^n$

右辺$＝\sum^{n}_{i=0}{}_nC_i2^i1^{n-i}=\sum^{n}_{i=0}{}_nC_i2^i$


以上より示された
\section{不等式と集合}

\subsection{}


$2 > x $

\subsection{}


$x<\frac{-1-\sqrt{ \mathstrut17}}{2},x>\frac{-1+\sqrt{\mathstrut17}}{2}$

\subsection{}


$x \not = 0$のとき

$x\leq \frac{-5-\sqrt{\mathstrut17}}{2},\frac{-5+\sqrt{\mathstrut17}}{2}\leq x$


\subsection{}


右辺の解がマイナスなので不等式を満たす実数xは存在しない。


\subsection{}


$-x-1 \leq x- \frac{1}{2} \leq x+1$

より

$x \geq -\frac{1}{4}$
\section{集合と論理の関係}


\subsection{}

$X={ x: x \geq 0, ax=b }$


\subsection{}

$Y={ y: ay \geq 0 , by < 0 }$
\section{実数の性質}


\section{不等式の証明}


\section{不等式と領域の図示}


\section{不等式をみたす集合}









\end{document}