\documentclass[a4j,11pt,fleqn]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\topmargin=-0.4in
\oddsidemargin=0.0in
\headheight=0.0in
\textwidth=44.0zw
\textheight=10.0in
\setlength{\textheight}{45\baselineskip}
\addtolength{\textheight}{\topskip}
\mathindent=4zw

\title{P6}
\author{�����@�P��}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle

\section{����}
���̂���SMBH�A����LISA�Ŋϑ��\���GW���ł���B
���Θ_�̐��w�I���W�ɂ��A��L��GW�̃��~�m�V�e�B��g�`��\���ł���B
���~�m�V�e�B�̃s�[�N�́A�ԕ��Έڂ����邱�Ƃɂ����LISA�Ŋϑ��\�ł���B
\par
GW���`�d����Ƃ��A�����Ƒ��ݍ�p����B
GW�͎��͂̃K�X�̔S���Ō�������B
�܂��AGW�͉��g�Ŕg���͒����̂ŁA���U�U�������N���A�z�q�̎��g������������A�d�͎q�E�z�q�΂����A�����C�̃v���Y�}���ŃA���t�x���g�Ǝ��C�z�q�g�����т��B
�����̑��ݍ�p�͔��Ɏア���߁AGW�͍����x�ȂƂ���i���V�������̊j�E�����o�[�X�g�E�����F���j�ł��V���w�I�ȋ��������������ɐi�ށB
�܂��A���̂���SMBH�̋ߖT�ł͖��邢EM���o���B
���̂���SMBH�A�����S���ɂ����GW�����o�ł��邩���l����B
\par
���S��SMBH������2�̃K�X����͂����̂���Ƃ��A�K�X�͒��S�ɍs���A����ɏW�܂�B
�K�X�␯�ԕ����������GW����o�����A�n�b�u���^�C���X�P�[���ŋO�����������Ȃ�B
��̂悤�ȏ󋵂Ȃ�~���~�Ղ��ł���B
2��SMBH�̎��ʂ��قړ������Ƃ��A�~�Ղ̒��S�ɋO�����a��2�{�قǂ̔��a�̋󓴂��ł���B
SMBH�����̂���Ō�̎����ɂ́A�A���̋O�����a����C�ɏ������Ȃ�̂ŁA�󓴂̔��a���������Ȃ铮���͒ǂ������A�󓴂̔��a�͍ŏ��l$r_{min}$�Ŏ~�܂�B
\[ r_{min} \sim 120r_S q_0^{0.45}M_7^{0.07}�@�����Ł@r_S=\frac{2GM}{c^2}�@q_0=\frac{4q}{(1+q)^2}\]
����GW����o����󓴂̂���~�Ղ�EM�����o����B
\par
GW�ɑΉ�����EM���\�����邢�Ȃ�A�]�����Ŋϑ��ł���B
����́A��ʑ��Θ_�̌��؂Ɏg����B
GW�������EM�����ł�����������B
\par
SMBH�̍��̂����EM���˂ɂ͈ȉ���4�̋@�\������B\\
(i) �����̘A���̋O���^���ŏd�̓|�e���V�����������I�ɕω����邱�Ƃɂ�����\\
(ii) �A�������̂���Ƃ�GW�o�[�X�g�Ŏ��ʂ��ˑR����A�~�Ղ̍\�����ω����邱�Ƃɂ�����\\
(iii) ������\\
(iv) SMBH�̎c��̃K�X�̗������݂ɂ�����\\
�S���ɂ��GW�����M����EM�́����������^���̌�̂ق��ŁA�A���ԋ������\�������Ƃ����(i)�̂Ƃ��ɑ����B�Ȃ��Ȃ�A�����I�ȃ|�e���V�����ϓ���(i)
�S���ɂ��GW���U�킷��Ƃ��AEM��GW�o�[�X�g�̃s�[�N���琔���ԁ`������ɔ�������B
(ii)�Ŏ��ʂ�����Ƃ��A�����`���T�ԁi�O���^���̃^�C���X�P�[���j�������ĉ~�Ղ̃K�X����������EM����������B
�������Ռ�(iii)�͗��ꂪ�������������`���N�̂������ɋN����B
(iv)�͍��̂��N���Ă���ق�̐��N��ɋN����B

\section{SMBH�̍��̂����GW}
SMBH�̘A�������̂���Ƃ��ɐ�����GW�́A�X�s��2�̋��ʃe���\�����a�U���ŏ�����B
GW�̃G�l���M�[�t���b�N�X���������̋ߎ����g���ċ��߂�B
���ʍ��W��p����(1)���̂悤�ɏ�����B
\begin{equation}
e_{GW}(t,r,\theta,\phi)=Y(\theta)\frac{L_{GW}(t_{ret})}{4\pi cr^2}
\end{equation}
\[�����Ł@Y(\theta)=\frac{5}{2}(\sin^8\frac{\theta}{2}+\cos^8\frac{\theta}{2})�@t_{ret}=t-\frac{r}{c}�@L_{GW}\propto \left\{ 
\begin{array}{ll} q_0^2 \left( \frac{|q_0t-t_1|}{t_1} \right)^{-\frac{5}{4}} &,t<0 \quad  \\
Const &,0<t<t_1 \quad  \\ \exp{-\frac{ct}{2.5r_S}} &,t_1<t \quad \end{array} \right. \]
�S���Ԃ��l���A$t\ll0$�ŌÓT�I�ȃ��~�m�V�e�B$L_{insp}^{GW}$�ɂȂ�悤��$t_1$�����߁A���w�I�Ƀs�[�N�̃��~�m�V�e�B$L_{peak}^{GW}$���v�Z����ƁA�ȉ��̂悤�ɂȂ�B
\[ L_{insp}^{GW}=\frac{1}{32}\left(\frac{5}{64}\right)^{\frac{1}{4}}\frac{c^5q_0^{\frac{3}{4}}}{G}�@L_{peak}^{GW}\approx 10^{-3}\frac{c^5q_0^2}{G}\]
����́ASMBH�̋K�͂ƃX�s���̌����ɂ�邪�A2�{���炢�̐��x�Ő������B
���o�����SGW�̃G�l���M�[�͈ȉ��ŗ^�����A$\kappa/q_0^2$�͂悭5����p����B
\[\Delta E_{GW}=\int _{-\infty}^{\infty}L_{GW}dt=\kappa Mc^2�@3\% \leq \frac{\kappa}{q_0^2}\leq 7\%\]
GW�o�[�X�g�̃^�C���X�P�[���͈ȉ��ŗ^������B
\[\Delta t_{GW}=\frac{\kappa Mc^2}{L_{peak}^{GW}}\sim\frac{20r_S}{c}  \]

\section{�S���̂���}��ł�GW�ɂ�����}
�S���̂���}��ł̈��̓G�l���M�[�^���ʃe���\��$T_{\mu\nu}$�́A$\eta$�𓮔S���W���A$\sigma_{\mu\nu}$�𗬑̂̌������Ƃ��āA$T_{\mu\nu}=-2\eta\sigma_{\mu\nu}$�Ə�����B
GW�͉��g�Ȃ̂ŁA$\dot{}$�����Ԕ����A$h_{\mu\nu}$���v�ʂ̐ۓ��Ƃ��āA$\sigma_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\dot{h}_{\mu\nu}$�Ə�����B
�d�͂��ア�Ƃ���ŁA�A�C���V���^�C����������$ \square h_{\mu\nu}=-16\pi G\eta\dot{h}_{\mu\nu}/c^4$�Ə�����̂ŁAGW�����M����G�l���M�[���x$e$�͈ȉ��̂悤�ɏ�����B
\begin{equation}
\dot{e}_{heat}=-\dot{e}_{GW}=\frac{16\pi G\eta}{c^4}e_{GW}
\end{equation}
����āA�G�l���M�[���x�̓^�C���X�P�[��$t_d=\left(16\pi G\eta/c^2\right)^{-1}$�Ŏw���֐��I�Ɍ�������B

\section{�~���~�Ղ̉��M}
�~���~�Ղ̃��f���Ƃ��āA�����f���𓱓�����B�i������$H(r)\ll r$�A���x���Ⴂ$T\gtrsim 10^6$�j
�S���W��$\eta(r)$�́A�p���x$\Omega=GM/r^3$�A$\alpha\gtrsim 1$�A����$P(r)=P_{gas}^bP_{tot}^{1-b}(0<b<1)$�Ƃ��āA�ȉ��̂悤�ɗ^������B
\[\eta(r)=\frac{2\alpha P(r)}{3\Omega(r)}�@�����Ł@\Omega=GM/r^3�@\alpha\gtrsim 1�@P(r)=P_{gas}^bP_{tot}^{1-b}(0<b<1)\]
���ʂ̎��ԕω�$\dot{M}$�́A���˃��~�m�V�e�B$L_E(M)$�A���˂Ǝ��ʂ̔�$\epsilon$��p���Ĉȉ��̂悤�ɏ�����B
\[\dot{M}=\dot{m}\dot{M}_E�@�����Ł@\dot{M}_E=\epsilon\frac{L_E}{c^2}\]
$\kappa$�����܂�����A�~�����f����$\dot{m}�A\epsilon�Ab�AM$�ɂ���Č��܂�B
���x$T$�A�ʖ��x$\Sigma$�A����$H$�������̕ϐ��ɂ���Č��܂�B
\par
�~�Օ\�ʂŒP�ʑ̐ϓ������GW������G�l���M�[$H\dot{e}_{heat}$�́A(2)�����$\eta H$�Ƃ������ɂ���Č��܂�B
�����ŁA$\eta H$�͈ȉ��Ɏ����悤��$\dot{M}$�ɂ݈̂ˑ����Ă���B�i�����C�W���F$\nu$�A���ʖ��x�F$\rho$�j
\begin{equation}
\eta(r)H(r)=\frac{\nu(r)\Sigma(r)}{2}=\frac{\dot{M}}{6\pi}=Const
\end{equation}
\[�����Ł@\nu=\frac{\eta}{\rho}=\frac{2\eta H}{\Sigma}\]
��(1)(2)(3)���A�~�Օ\�ʂŒP�ʑ̐ϓ�����ɕ��˂���GW�����M���Ĕ�������G�l���M�[�́A�S����s�����x�ɂ���Č��܂�B
\begin{equation}
H\dot{e}_{heat}=\frac{16\pi G}{c^2}\eta He_{GW}=\frac{8}{3}\frac{G}{c^3}\dot{M}Y(\theta)\frac{L_{GW}(t_{ret})}{4\pi r^2}
\end{equation}
$2\pi rdr$�������邱�Ƃɂ���Ĕ��a���Ƃɍl����ƁA$r$�̍���$d(logr)$�ɂȂ�̂ŁA�ΐ����Ƃɓ��ʂ̃G�l���M�[���������Ă��邱�Ƃ�������B
���M��$H\dot{e}_{heat}$��$\dot{M}$�ɔ�Ⴗ�邪�A���͉~�Ղ̃p�����[�^�Ƃ͓Ɨ��Ɍ��܂�B
\par
���M��$H\dot{e}_{heat}$�͍~���~�Ղ̕��˗�$H\dot{e}_{disk}$�Ɣ�r����ƈȉ��̂悤�ɏ�����B�i$L_{-3}^{GW}$��GW���˂��s�[�N�̂Ƃ�$\sim 1$�j
\begin{equation}
\frac{\dot{e}_{heat}(t_{ret},r)}{\dot{e}_{disk}(r)}=\frac{32}{9}Y(\theta)r_3L_{-3}^{GW}(t_{ret})
\end{equation}
\[�����Ł@H\dot{e}_{disk}=\frac{3}{8\pi}\frac{GM\dot{M}}{r^3}�@L_{-3}^{GW}=\frac{L_{GW}}{10^{-3}c^5/G}\]
$r_3\gtrsim 1$�̂Ƃ��A�i$\frac{32}{9}Y$�������邪�jGW�����M���Ĕ�������G�l���M�[$\dot{e}_{heat}$�͍~���~�Վ��g���甭������G�l���M�[$\dot{e}_{disk}$������B
�����A�~���~�ՂƘA���̉�]���������Ƃ��A$\dot{e}_{heat}/\dot{e}_{disk}=\frac{10}{9}r_3$�ł���B
���̌��ʂ͈�ʓI�ŁA���ʂ�~���~�Ղ̃p�����[�^�Ɉˑ����Ȃ��B

\section{��p�̃^�C���X�P�[��}
GW��������M��EM�ƂȂ��ĕ��˂����B
�ǂ̂悤��EM���o�邩�́A���̊J�����~���~�Ղ̐��������̔M�`����������΂悢
\par
�~���~�Ւ��Ō��q�͎U�������̂ŁA���q���~���~�Ղ����؂�^�C���X�P�[���́A�I�v�e�B�J���f�v�X$\tau(r)\gg 1$��p���Ĉȉ��̂悤�ɂȂ�B
\[t_{diff}\sim\frac{\tau H}{c}\]
�܂��A�M�G�l���M�[������ƂȂ��Ċg�U����^�C���X�P�[���́A$c_s$�������Ƃ��Ĉȉ��ŗ^������B
\[t_{therm}\sim\frac{t_{dyn}}{\alpha}�@�����Ł@t_{dyn}\sim\frac{H}{c_s}\sim\frac{1}{\Omega} \]
GW��������M�͏�L�̂悤�ɕ��ˁi�g�U�j�����̂ŁA�g�U�̃^�C���X�P�[���͈ȉ��ŕ\�������B
\[t_c=min(t_{diff},t_{therm})\]
\par
�M�̊g�U�̃^�C���X�P�[�����l����B\\
�E�K�X�∳�͂ɔ�Ⴗ��S���W��\\
�E$\kappa_{es}=0.35\mathrm{[cm^2/g]}$�̓d�q�U����$\kappa_{ff}=6.9\times10^{22}\rho T^{-\frac{7}{2}}\mathrm{[cgs]}$�̎��R�Ȉړ��Ō��܂�s�����x\\
�E�G�f�B���g���̍~����$\dot{m}=0.1\mathrm{or}1$\\
���l����B
�܂��A$\alpha=0.3�AM_7=1\mathrm{or}10$�Ƃ���B�i�}1�Q�Ɓj
�~���~�Ղ�3�̕����ɕ�������B\\
(a)���ˈ�����������\\
(b)�K�X����$\kappa_{es}$���������ԕ�\\
(c)�K�X����$\kappa_{ff}$�������O��\\
�̈�(a)�ł͔S�����悭�����B
$\eta\propto P_{gas}$�Ȃ�$t_{diff}\sim t_{dyn}$�A���$\eta\propto P_{tot}$�Ȃ���˂̉e���͏��Ȃ�$t_c\sim t_{therm}$�ł���B
�T�^�I�ȃp�����[�^���ƁA(c)�͎��ȏd�͂ł΂�΂�ɂȂ�悤�Ȕ��a�̑傫���Ƃ���܂ł���B
$\dot{m}=0.1�A0.1\lesssim M_7\lesssim10$���̗p����ƁA�S���a�ɂ����Ĉȉ��̂悤�ɂȂ�B
\begin{equation}
3\lesssim\frac{ct_c(r)}{r}\lesssim 30
\end{equation}
��p�̃^�C���X�P�[���͏������Ȃ�\��������B�i�������ڍוs���j

\section{�~�Ղ̔���}
���ȉ~�Ղ́A�S���̃^�C���X�P�[�����\���傫���̂ŁA�Ó��ȃ^�C���X�P�[���ł͔��a�����ɔM�̈ړ��͂Ȃ��B�i$t_c\ll t_{visc}\sim r^2/\nu\sim t_{therm}(r/H)^2$�j
GW�����M���Đ�����t���b�N�X�i$\Delta F(t,r)\equiv F(t,r)-F_{disk}(t,r)$�j�́A�ȉ��̂悤�Ɋg�U�������ŏ�����B
\begin{equation}
t_c\Delta\dot{F}+\Delta F=H\dot{e}_{heat}
\end{equation}
\[\left(\because\Delta F=\frac{eH}{t_c}\longrightarrow\Delta\dot{F}=\frac{\dot{e}H}{t_c}�@�Ɂ@\dot{e}=\dot{e}_{heat}-\frac{\Delta F}{H}�@���� \right)\]
�ϑ������t���b�N�X�͉~�Ղ̃p�����[�^$t_c(r)$�Ɉˑ�����B\\
i)$t_c(r)\ll\Delta t_{GW}$�̂Ƃ�
\[(7)\rightsquigarrow  \Delta F=H\dot{e}_{heat}\]
\[\Longrightarrow\frac{\Delta F}{F_{disk}}=\frac{H\dot{e}_{heat}}{H\dot{e}_{disk}}=\frac{32}{9}Y(\theta)r_3L_{-3}^{GW}(t_{ret})\]
ii)$t_c(r)\gg\Delta t_{GW}$�̂Ƃ�
\[(7)\rightarrow\Delta F=\frac{\Delta t_{GW}}{t_c}e^{-\frac{t_{ret}}{t_c}}H\dot{e}_{heat} \]
\begin{eqnarray*}
\Longrightarrow\frac{\Delta F}{F_{disk}} &=& \frac{H\dot{e}_{heat}}{H\dot{e}_{disk}}\frac{\Delta t_{GW}}{t_c}e^{-\frac{t_{ret}}{t_c}}\\
&=& \frac{32}{9}Y(\theta)r_3L_{-3}^{GW}(t_{ret})\frac{\frac{\kappa Mc^2}{L_{peak}^{GW}}}{t_c}e^{-\frac{t_ret}{t_c}}\\
&=& \frac{32}{9}Y(\theta)\left(\frac{r}{10^3\times 2GM/c^2}\right)\left(\frac{L_{GW}}{10^{-3}\times c^5/G}\right)\frac{\kappa Mc^2}{L_{peak}^{GW}t_c}e^{-\frac{t_ret}{t_c}}\\
&=& \frac{16}{9}\kappa Y(\theta)\frac{r}{ct_c}\left(\frac{L_{GW}}{L_{peak}^{GW}}e^{-\frac{t_{ret}}{t_c}}\right)\\
\end{eqnarray*}
\[\frac{L_{GW}}{L_{peak}^{GW}}e^{-\frac{t_{ret}}{t_c}}\le 1���=1�̂Ƃ��ő�ɂȂ�B\]
i)��ii)���܂Ƃ߂�Ɖ��̂悤�ɂȂ�B
\begin{equation}
\frac{\Delta F(t_{ret},r)}{F_{disk}(r)}\approx
\begin{cases}
\frac{32}{9}Y(\theta)r_3L_{-3}^{GW}(t_{ret}) & \text{($\Delta t_{GW}\gg t_c$)}\\
\frac{16}{9}\kappa Y(\theta)\frac{r}{ct_c} & \text{($\Delta t_{GW}\ll t_c$)}
\end{cases}
\end{equation}
$L_{-3}^{GW}=1�AY=1�A\kappa=3���Ar/(ct_c)=0.1$��������ƁA���ꂼ��̏ꍇ$\Delta F/F_{disk}\sim\left(3.6r_3�A0.005 \right)$�ƂȂ�B
�~�Ղ̌����ɂ����$Y(\theta)$��3�{���炢�ω�����B
�~�Ղ̑S���~�m�V�e�B�́A�x������$t'_{ret}=t-\frac{r}{c}(1-sin\theta_{obs}cos\phi_{disk})$�A�f�B�X�N�̌X��$\theta_{obs}$�A�f�B�X�N��̈ʒu�����߂�p�x$\phi_{disk}$�A�ԕ��Έڂɂ�郋�~�m�V�e�B����$d_L(z)$�Ƃ��āA�ȉ��̂悤�ɂȂ�B
\begin{equation}
\Delta L(t)=\frac{cos\theta_{obs}}{4\pi d_L^2}\int_{r_{min}}^{r_{max}}\int_0^{2\pi}\Delta F(t'_{ret},r)rd\phi_{disk}dr
\end{equation}
(7)����$L_{GW}$��������(9)���̂悤�ɐϕ����Đ��l�I�Ƀ��~�m�V�e�B���v�Z�������ʂ��}2�ł���B
�~�Ղ̓���($r<r_{min}$)�͋󓴂ŁA�ϐ���($q_0�A\dot{m}�A\alpha�Ab�AM_7�AY$)$=$($1�A0.1�A0.3�A0�A1�A2.5$)�Ƃ��A2�p�^�[���u(i) $t_c\ll r/c$�v�u(ii) $t_c(r)$��$\alpha$���f���Ɋ�Â��v���l����B
�������i�Ԃ̊ԈႢ�H�j���_���͉~�Ղ��ォ��i$\theta_{obs}=0$�j�A�������i�̊ԈႢ�H�j�Ԃ������͉~�Ղ�������i$\theta_{obs}=\pi/2$�j�����Ƃ��ł���B
EM��GW��茸�����₷���̂�$\theta_{obs}$�̉e�����󂯂₷���B
�~�Ղ����������Ă���Ƃ��A�~�̒��S��ʂ鎋�����EM�̃t���A�͓����Ɍ����A����ȊO�̎������EM�t���A�̓Y����B
�������A���ʂ������Ă���Ƃ��A�Ⴄ�����������Ɍ����A�x���͔��a�ƂƂ��ɑ傫���Ȃ�B
���ʂ������Ă���Ƃ��AEM�̃��~�m�V�e�B�̃s�[�N��GW�̃s�[�N�ɑ΂���$t_c(r_{min})+(r_{min}/c)cos\theta_{obs}$���炢�x���B
EM�Ȑ��͓����I�Ȍ`�����Ă���B
�����̂Ƃ���$\Delta L\propto|t|^{-\frac{5}{4}}$�A�s�[�N��i$\sim t_{cool}\sim 10r_{max}/c$�j���炢�̂Ƃ���$\Delta L\propto t^{-1}$�A���̌�͎w���֐��I�Ɍ�������B
�قȂ鎿�ʂɑ΂��āA$\Delta L$��$q_0^2$�Ō�������B

\section{�l�@}
GW�s�[�N�����EM�s�[�N�̒x�ꎞ�Ԃ��O���t����ǂݎ��ƁA$\sim 10M_7\mathrm{[h]}$���炢�ɂȂ�B
$t_c\ll\frac{r}{c}$�̂Ƃ�
\[\frac{\Delta L}{L_{disk}}\sim\frac{r_{min}}{10^3r_S}�@�@\left(\because\text{�O���t���@}\frac{\Delta L}{L_{disk}r_{min,2}}\sim 0.1\right) \]
$\alpha$-disk�̂Ƃ��͏�L����$130\dot{m}^{\frac{4}{5}}M_7^{\frac{1}{5}}$���̈�ɂȂ�i�������v�m�F�j�B
�����$\sim(10^{-4}-10^{-3})\times L_E$���炢�ɒB����i�������Ȃ�ŁH�j�B
EM��$\sim t^{-1}$�Ō������Ă���Ƃ��A�~�Օ\�ʉ��x�i$\sim 3.6\times10^3e_3^{-\frac{3}{4}}\mathrm{[K]}$�j�i�������Ȃ�ŁH�j�ɑΉ����������I�ȉ��ԊO�̔g���i$\lambda\sim 1.5r_3^{\frac{3}{4}}\mathrm{[\mu m]}$�j�ŕ��˂���B
GW���O�ɓ`���ɂ�āAGW�̃G�l���M�[�������Ă����̂�$t^{\frac{3}{4}}$�ɔ�Ⴕ�Ĕg���������Ȃ�B�i�������H�j
PAN-STARRS��LISA�́A���̈ꎞ�I�ȃC�x���g�𑨂��邱�Ƃ��ł���B
\par
���ˌ����̈����i�����j�~���~�ՂȂ�A���M���͈�ʓI��(5)���ŗ^������B
�������A���˂̌��ʂ��������߁AEM�͎キ�ϑ����ɂ����B
GW�����M���Ĕ�������EM�́A�~�������͂��������͂Ȃ��B
\par
EM���ϑ�����GW�̉��M���ʂ��l�����邱�ƂŁA�ԐړI��GW���ϑ��ł���B����́A��ʑ��Θ_�̌��؂ɂ��Ȃ�B
LISA�ő�����GW����EM���g���Ċϑ�����ƁASMBH�A���̍��̂̃K�X�̊������߂邾���łȂ��A���̐ԕ��Έڂ�ʒu������ł���B�i�������{���ɁH�j


\end{document}

