円周率の近似を使って不定形(\infty \times 0)が\infty でも0でもないことを証明します。
円の半径を\ r,正n角形の１辺を\ aとします。\円の中心から円周上の各点に線分を引いて出来た三角形について考えます。
正n角形なので中心角はn等分され、\frac{2\pi}{n}になります。\
余弦定理より\ a^2=r^2+r^2-2r^2\cos{\frac{2\pi}{n}}となります。\ a>0よりa=\sqrt{r^2+r^2-2r^2\cos{\frac{2\pi}{n}}}になります。\
aは１辺の長さなので正n角形の周の長さは\ naとなり、周の長さ=nr\sqrt{2-2\cos{\frac{2\pi}{n}}}になります。\
ここで、円周率の定義を確認しておきましょう。円周率=\frac{円周}{直径}でどんな円でも同じ値が出ます。\
さらに正n角形のnの値を大きくしていくと、周の長さが円周に近づいていくことがわかります。（スライダーを右に動かす）\
これが近似です。では円周率を求めていきます。\
円周率=\frac{円周}{直径}=\frac{nが十分に大きいときの周の長さ}{直径}ですが\pi=\frac{na}{2r}とするのは間違いです。\
nが十分に大きくないと周の長さと円周では大きな差ができます。ですので\pi=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{na}{2r}とするのが正解です。\
したがって計算すると\pi=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{na}{2r}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{nr\sqrt{2-2\cos{\frac{2\pi}{n}}}}{2r}\
=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2}n\sqrt{2-2\cos{\frac{2\pi}{n}}}となります。(rがないので半径に依存しないことの証明が出来ました。)\
ここで\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2}n\sqrt{2-2\cos{\frac{2\pi}{n}}}のなかで\lim_{n\rightarrow \infty}n=\infty,\lim_{n\rightarrow \infty}2-2\cos{\frac{2\pi}{n}}=0となり\infty \times 0の不定形になりました。\
もし\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2}n\sqrt{2-2\cos{\frac{2\pi}{n}}}＝\piになれば、不定形は安易に0や\inftyと答えてはならないということになります。\では実際に見てみましょう。

r

n = 3 (slider from 1 to 1000, step 1)
L = Sequence((cos(((2 * π / n) * i)), sin(((2 * π / n) * i))), i, 0, n, 1)
poly1 = Polygon(L)
A = (0, 0)
B = Point(c)
a = Segment(A, B)
C = (0.4868436187022642, -1.483860549609785)
d = CircleArc(C, B, A)
M = Sequence((0, 0), i, 0, n, 1)
answer: ((1 / 2 * n) * sqrt(2 - (2 * cos((2 * π / n)))))
text3: "\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2}n\sqrt{2-2\cos{\frac{2\pi}{n}}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2}\times" + (LaTeX[n]) + "\sqrt{2-2\cos{\frac{2\pi}{" + (LaTeX[n]) + "}}}\\
=" + (LaTeX[answer]) + "\\
(実際の円周率=3.14159265358979323846)\\
このことよりnが大きくなればなるほど実際の円周率に\\近づき（極限）、定数になることが分かります。\\
よって不定形は代入するだけでは求めることが出来ません。"