円の面積。

円は正∞角形なので、

円に内接している正∞角形の面積を求めた後に

円に外接している正∞角形の面積を求めます。

面積の大きさは、

円に外接している正∞角形＞円＞円に内接している正∞角形

なので、挟み撃ちの定理を用います。

nを3以上の自然数とします。

半径がrの円に内接している正n角形の面積(ISn)は

(1÷2)*r2*sin(2ϖ÷n)*n

です。

半径がrの円に外接している正n角形の面積(OSn)は

(1÷2)*[r÷{cos(ϖ÷n)}]2*sin(2ϖ÷n)*n

です。

(OSn)÷(ISn) = [1÷{cos(ϖ÷n)}]2 となり [1÷{cos(ϖ÷n)}]2＞1 から常に(OSn)＞(ISn)になります。

また微分の結果、ISnはnが大きくなるほど面積が増え、OSnはnが大きくなるほど面積が減ります。

即ちISnはn=∞で最も大きくなり、OSnはn=∞で最も小さくなります。

ここで2*ϖ÷n=Kとすると

lim(n→∞)ISn = lim(k→0){sin(k)÷k}*ϖ*r2 → ϖ*r2

lim(n→∞)OSn = lim(k→0){sin(k)÷k}*ϖ*r2*[1÷{cos(k÷2)}]2 → ϖ*r2

挟み撃ちの定理により、円の面積 = ϖ*r2 となります。

結論ですが、円の面積を求めるには

円に内接及び外接している正n形の面積

外接している側が内接している側より常に面積が大きい事実、即ちnが幾つであっても追い抜かれない事実

内接している側はnが∞に近づくほど面積が大きくなり、外接している側はnが∞に近づくほど面積が小さくなる事実

以上が必要になるのです。

エニアグラム診断。

Tableauを用いて作成しました。